Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 17math100admin44242025-03-26T18:34:07+03:00
Задача 17. Вычислите \(\dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{5 + \sqrt {21} }}\)
Решение
\(\dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{5 + \sqrt {21} }}.\)
Воспользуемся формулой сокращённого умножения:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}.\)
\(\dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)}^2}}}{{5 + \sqrt {21} }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2 \cdot \sqrt 3 \cdot \sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}}}{{5 + \sqrt {21} }} = \dfrac{{3 + 2\sqrt {21} + 7}}{{5 + \sqrt {21} }} = \)
\( = \dfrac{{10 + 2\sqrt {21} }}{{5 + \sqrt {21} }} = \dfrac{{2\left( {5 + \sqrt {21} } \right)}}{{5 + \sqrt {21} }} = 2.\)
Ответ: 2.