Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 19

Задача 19. Расположите числа в порядке возрастания: \(\sqrt[3]{3},\,\,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\,\,\sqrt[4]{5}\)

1) \(\sqrt[3]{3},\,\,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\,\,\sqrt[4]{5}\)	2) \(\sqrt[3]{3},\,\,\,\,\,\sqrt[4]{5},\,\,\,\,\,\sqrt 2 \)	3) \(\sqrt 2 ,\,\,\,\,\sqrt[3]{3},\,\,\,\,\,\sqrt[4]{5}\)
4) \(\sqrt 2 ,\,\,\,\,\sqrt[4]{5},\,\,\,\,\,\sqrt[3]{3}\)	5) \(\sqrt[4]{5},\,\,\,\,\sqrt 2 ,\,\,\,\,\,\,\sqrt[3]{3}\)	6) \(\sqrt[4]{5},\,\,\,\,\,\sqrt[3]{3},\,\,\,\,\,\sqrt 2 \)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Воспользуемся свойством: \(\sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

Тогда:

\(\sqrt[3]{3} = \sqrt[{3 \cdot 4}]{{{3^4}}} = \sqrt[{12}]{{81}};\) \(\sqrt 2 = \sqrt[{6 \cdot 2}]{{{2^6}}} = \sqrt[{12}]{{64}};\) \(\sqrt[4]{5} = \sqrt[{4 \cdot 3}]{{{5^3}}} = \sqrt[{12}]{{125}}.\)

Значит:

\(\sqrt 2 = \sqrt[{12}]{{64}} < \sqrt[3]{3} = \sqrt[{12}]{{81}} < \sqrt[4]{5} = \sqrt[{12}]{{125}}.\)

Ответ: 3.