Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 22

Задача 22. Расположите числа в порядке убывания: \(\sqrt 3 ,\,\,\,\,\,\sqrt[3]{6},\,\,\,\,\,\sqrt[4]{{10}}\)

1) \(\sqrt 3 ,\,\,\,\,\,\sqrt[3]{6},\,\,\,\,\,\sqrt[4]{{10}}\)	2) \(\sqrt 3 ,\,\,\,\,\,\sqrt[4]{{10}},\,\,\,\,\,\,\sqrt[3]{6}\)	3) \(\,\sqrt[3]{6},\,\,\,\,\,\sqrt 3 ,\,\,\,\,\,\sqrt[4]{{10}}\)
4) \(\,\sqrt[3]{6},\,\,\,\,\,\sqrt[4]{{10}},\,\,\,\,\,\sqrt 3 \)	5) \(\sqrt[4]{{10}},\,\,\,\,\,\sqrt 3 ,\,\,\,\,\,\sqrt[3]{6}\)	6) \(\sqrt[4]{{10}},\,\,\,\,\,\sqrt[3]{6},\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Воспользуемся свойством: \(\sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

\(\sqrt 3 = \sqrt[{2 \cdot 6}]{{{3^6}}} = \sqrt[{12}]{{729}};\) \(\sqrt[3]{6} = \sqrt[{3 \cdot 4}]{{{6^4}}} = \sqrt[{12}]{{1296}};\) \(\sqrt[4]{{10}} = \sqrt[{4 \cdot 3}]{{{{10}^3}}} = \sqrt[{12}]{{1000}}.\)

Значит:

\(\sqrt[3]{6} = \sqrt[{12}]{{1296}} > \sqrt[4]{{10}} = \sqrt[{12}]{{1000}} > \sqrt 3 = \sqrt[{12}]{{729}}.\)

Ответ: 4.