Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 45

ОТВЕТ: 5.

\(\sqrt[4]{{6 + 2\sqrt 5 }} \cdot \sqrt[4]{{6-2\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{8-\sqrt {37} }} \cdot \sqrt[3]{{8 + \sqrt {37} }}.\)

Воспользуемся формулой сокращённого умножения:

\({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)

\(\sqrt[4]{{6 + 2\sqrt 5 }} \cdot \sqrt[4]{{6-2\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{8-\sqrt {37} }} \cdot \sqrt[3]{{8 + \sqrt {37} }} = \)

\( = \sqrt[4]{{\left( {6 + 2\sqrt 5 } \right)\left( {6-2\sqrt 5 } \right)}} + \sqrt[3]{{\left( {8-\sqrt {37} } \right)\left( {8 + \sqrt {37} } \right)}} = \)

\( = \sqrt[4]{{{6^2}-{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{{8^2}-{{\left( {\sqrt {37} } \right)}^2}}} = \sqrt[4]{{36-20}} + \sqrt[3]{{64-37}} = \)

\( = \sqrt[4]{{16}} + \sqrt[3]{{27}} = \sqrt[4]{{{2^4}}} + \sqrt[3]{{{3^3}}} = 2 + 3 = 5.\)

Ответ:  5.