Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 46

ОТВЕТ: -4.

\(\sqrt[5]{{6-2\sqrt {17} }} \cdot \sqrt[5]{{6 + 2\sqrt {17} }}-\sqrt[3]{{\sqrt {17}  + 3}} \cdot \sqrt[3]{{\sqrt {17} -3}}.\)

Воспользуемся формулой сокращённого умножения:

\({a^2}-{b^2} = \left( {a-b} \right)\left( {a + b} \right).\)

\(\sqrt[5]{{6-2\sqrt {17} }} \cdot \sqrt[5]{{6 + 2\sqrt {17} }}-\sqrt[3]{{\sqrt {17}  + 3}} \cdot \sqrt[3]{{\sqrt {17} -3}} = \)

\( = \sqrt[5]{{\left( {6-2\sqrt {17} } \right)\left( {6 + 2\sqrt {17} } \right)}}-\sqrt[3]{{\left( {\sqrt {17}  + 3} \right)\left( {\sqrt {17} -3} \right)}} = \)

\( = \sqrt[5]{{{6^2}-{{\left( {2\sqrt {17} } \right)}^2}}}-\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}-{3^2}}} = \sqrt[5]{{36-68}}-\sqrt[3]{{17-9}} = \)

\( = \sqrt[5]{{-32}}-\sqrt[3]{8} = -\sqrt[5]{{{2^5}}}-\sqrt[3]{{{2^3}}} = -2-2 = -4.\)

Ответ:  \(-4.\)