Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 57

ОТВЕТ: 3.

\(\sqrt {3\sqrt[4]{{3\sqrt[3]{3}}}}  \cdot \sqrt[3]{3}.\)

Воспользуемся свойствами:  \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

\(\sqrt {3\sqrt[4]{{3\sqrt[3]{3}}}}  \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt {\sqrt[4]{{{3^4}}} \cdot \sqrt[4]{{3\sqrt[3]{3}}}}  \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt {\sqrt[4]{{{3^4} \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3}}}}  \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[8]{{{3^5} \cdot \sqrt[3]{3}}} \cdot \sqrt[3]{3} = \)

\( = \sqrt[8]{{\sqrt[3]{{{3^{15}}}} \cdot \sqrt[3]{3}}} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[8]{{\sqrt[3]{{{3^{15}} \cdot 3}}}} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[{24}]{{{3^{16}}}} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{{3^2}}} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{{{3^3}}} = 3.\)

Ответ:  3.