Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 58

ОТВЕТ: 5.

\(\sqrt {5\sqrt[3]{{5\sqrt[4]{{{5^2}}}}}}  \cdot \sqrt[4]{5}.\)

Воспользуемся свойствами:   \(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt[{nk}]{{{a^{mk}}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.\)

\(\sqrt {5\sqrt[3]{{5\sqrt[4]{{{5^2}}}}}}  \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt {\sqrt[3]{{{5^3}}} \cdot \sqrt[3]{{5\sqrt 5 }}}  \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt {\sqrt[3]{{{5^4} \cdot \sqrt 5 }}}  \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[6]{{\sqrt {{5^8}}  \cdot \sqrt 5 }} \cdot \sqrt[4]{5} = \)

\( = \sqrt[6]{{\sqrt {{5^9}} }} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[{12}]{{{5^9}}} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{{{5^3}}} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{{{5^4}}} = 5.\)

Ответ:  5.