Преобразование выражений, содержащих радикалы. Задача 89math100admin44242024-05-14T20:49:48+03:00
Задача 89. Вычислите \(\sqrt 7 \, \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \, \cdot \sqrt[4]{{11-6\sqrt 2 }}\)
Решение
\(\sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt[4]{{11-6\sqrt 2 }} = \sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt[4]{{9-6\sqrt 2 + 2}} = \)
\( = \sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt[4]{{{3^2}-2 \cdot 3 \cdot \sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt[4]{{{{\left( {3-\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt {\left| {3-\sqrt 2 } \right|} .\)
Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 2 \), то \(3-\sqrt 2 > 0\) и \(\left| {3-\sqrt 2 } \right| = 3-\sqrt 2 .\)
\(\sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt {\left| {3-\sqrt 2 } \right|} = \sqrt 7 \cdot \sqrt {3 + \sqrt 2 } \cdot \sqrt {3-\sqrt 2 } = \)
\( = \sqrt 7 \cdot \sqrt {\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3-\sqrt 2 } \right)} = \sqrt 7 \cdot \sqrt {{3^2}-{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 7 \cdot \sqrt 7 = 7.\)
Ответ: 7.