Задача 103. Указать наибольшее целое число K, при котором дробь \(\dfrac{{6{K^2} + K-27}}{{3K + 2}}\) является также целым числом.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Выделим целую часть:

Следовательно, исходную дробь можно представить в виде:

\(\dfrac{{6{k^2} + k-27}}{{3k + 2}} = 2k-1-\dfrac{{25}}{{3k + 2}}.\)

Число 25 делится без остатка на: \( \pm 1;\, \pm 5;\, \pm 25\). Значит:

\(3k + 2 = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = -\dfrac{1}{3}\, \notin \,Z;\)

\(3k + 2 = -1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = -1;\)

\(3k + 2 = 5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = 1;\)

\(3k + 2 = -5\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = -\dfrac{7}{3}\, \notin \,Z;\)

\(3k + 2 = 25\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = \dfrac{{23}}{3}\, \notin \,Z;\)

\(3k + 2 = -25\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = -9.\)

Наибольшее целое \(k = 1.\)

Ответ:  1.