Выделим целую часть:
Следовательно, исходную дробь можно представить в виде:
\(\dfrac{{6{k^2}-13k + 1}}{{2k-5}} = 3k + 1 + \dfrac{6}{{2k-5}}\)
Число 6 делится без остатка на: \( \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 3;\, \pm 6\). Значит:
\(2k-5 = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = 3;\)
\(2k-5 = -1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = 2;\)
\(2k-5 = 2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = \dfrac{7}{2};\)
\(2k-5 = -2\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = \dfrac{3}{2};\)
\(2k-5 = 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = 4;\)
\(2k-5 = -3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = 1;\)
\(2k-5 = 6\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = \dfrac{{11}}{2};\)
\(2k-5 = -6\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,k = -\dfrac{1}{2}.\)
Сумма целых значений k: \(3 + 2 + 4 + 1 = 10\).
Ответ: 10.