Упрощение алгебраических выражений. Задача 106

Задача 106. Чему равна сумма выражений \(\sqrt {25-{t^2}} \) и \(\sqrt {15-{t^2}} \), если известно, что их разность равна 2 (значение переменной t находить не нужно)?

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

\(\sqrt {25-{t^2}} -\sqrt {15-{t^2}} = 2.\)

Домножим обе части равенства на: \(\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} .\)

\(\left( {\sqrt {25-{t^2}} -\sqrt {15-{t^2}} } \right)\left( {\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} } \right) = 2\left( {\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} } \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,25-{t^2}-15 + {t^2} = 2\left( {\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} } \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,10 = 2\left( {\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} } \right)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\sqrt {25-{t^2}} + \sqrt {15-{t^2}} = 5.\)

Ответ: 5.