\(\dfrac{{3{x^2} + 9x + 7}}{{{x^3} + 5{x^2} + 8x + 4}} = \dfrac{A}{{x + 1}} + \dfrac{B}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{C}{{x + 2}}\)
Разложим многочлен \({x^3} + 5{x^2} + 8x + 4\) на множители. Для этого найдём корни кубического уравнения \({x^3} + 5{x^2} + 8x + 4 = 0.\) Кандидатами в целые корни этого уравнения являются делители свободного члена, равного 4, то есть \( \pm 1,\,\, \pm 2,\,\, \pm 4.\) Подходит \(x = -1\). Разделим многочлен \({x^3} + 5{x^2} + 8x + 4\) на многочлен \(x + 1:\)
Следовательно, многочлен \({x^3} + 5{x^2} + 8x + 4\) раскладывается на множители: \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = \left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.\) Тогда:
\(\dfrac{{3{x^2} + 9x + 7}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{A{{\left( {x + 2} \right)}^2} + B\left( {x + 1} \right) + C\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\)
Приравняем числители:
\(3{x^2} + 9x + 7 = A{x^2} + 4Ax + 4A + Bx + B + C{x^2} + 3Cx + 2C\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{x^2} + 9x + 7 = \left( {A + C} \right){x^2} + \left( {4A + B + 3C} \right)x + 4A + B + 2C.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A + C = 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4A + B + 3C = 9,}\\{4A + B + 2C = 7.}\end{array}} \right.\)
Вычтем из второго уравнения третье: \(C = 2\). Тогда \(A = 1\), \(B = -1\).
Ответ: \(A = 1,\,\,\,B = -1,\,\,\,C = 2.\)