Упрощение алгебраических выражений. Задача 108

Задача 108. Определить A, B и C так, чтобы для всех допустимых значений x имело место равенство \(\quad \dfrac{{4{x^2} + 5}}{{{x^3}-1}} = \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{C}{{x-1}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(A = 1,\;B = -2,\;C = 3\).

Решение

\(\dfrac{{4{x^2} + 5}}{{{x^3}-1}} = \dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{C}{{x-1}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\dfrac{{4{x^2} + 5}}{{\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{A{x^2} + Bx-Ax-B + C{x^2} + Cx + C}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x-1} \right)}}.\)

Приравняем числители:

\(4{x^2} + 5 = \left( {A + C} \right){x^2} + \left( {B-A + C} \right)x + C-B.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A + C = 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{B-A + C = 0,}\\{C-B = 5.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Если сложить все три равенства, то \(3C = 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,C = 3.\) Тогда: \(A = 1,\,\,\,B = -2.\)

Ответ: \(A = 1,\,\,\,B = -2,\,\,\,C = 3.\)