Упрощение алгебраических выражений. Задача 23math100admin44242025-03-26T21:01:51+03:00
Задача 23. Упростите выражение \(\left( {\dfrac{{a + b}}{{a-b}} + \dfrac{{a-b}}{{a + b}}} \right)\,{\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2}-{b^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}-1}}} \right)^{-1}}\)
Решение
\(\left( {\dfrac{{a + b}}{{a-b}} + \dfrac{{a-b}}{{a + b}}} \right)\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2}-{b^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2}-1}}} \right) = \)
\( = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} + {a^2}-2ab + {b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}} \cdot {\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{{a^2}-{b^2}}} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}} \right)^{-1}} = \)
\( = \dfrac{{2{a^2} + 2{b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}} \cdot {\left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}-{b^2}}}} \right)^{-1}} = \dfrac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}{{{a^2}-{b^2}}} \cdot \dfrac{{{a^2}-{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 2.\)
Ответ: 2.