Упрощение алгебраических выражений. Задача 32math100admin44242025-03-26T21:18:39+03:00
Задача 32. Упростите выражение \(\dfrac{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{{\left( {1-{x^2}} \right)}^{-1}}}} + \dfrac{{{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{-2}}}}} \right)}}{{{{\left( {\dfrac{{\,\,{x^{-{2^{}}}}}}{{1 + {x^{-2}}}}} \right)}^{-1}}}}\)
Решение
\(\dfrac{{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{{{{\left( {1-{x^2}} \right)}^{-1}}}} + \dfrac{{{2^{\frac{3}{2}}}}}{{{x^{-2}}}}} \right)}}{{{{\left( {\dfrac{{\,\,{x^{-2}}}}{{1 + {x^{-2}}}}} \right)}^{-1}}}} = \left( {\sqrt 2 \left( {1-{x^2}} \right) + 2\sqrt 2 {x^2}} \right) \cdot \dfrac{{{x^{-2}}}}{{1 + {x^{-2}}}} = \)
\( = \left( {\sqrt 2 -\sqrt 2 {x^2} + 2\sqrt 2 {x^2}} \right) \cdot \dfrac{{\dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \left( {\sqrt 2 + \sqrt 2 {x^2}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{x^2}}} \cdot \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2} + 1}} = \sqrt 2 .\)
Ответ: \(\sqrt 2 .\)