Упрощение алгебраических выражений. Задача 40math100admin44242025-03-26T21:36:14+03:00
Задача 40. Упростите выражение \({\left( {\dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}-1}} + \dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}}-1}}{{\sqrt a + 1}}-\dfrac{4}{{a-1}}} \right)^{-3}}\)
Решение
\({\left( {\dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{a^{\frac{1}{2}}}-1}} + \dfrac{{{a^{\frac{1}{2}}}-1}}{{\sqrt a + 1}}-\dfrac{4}{{a-1}}} \right)^{-3}} = {\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a -1}} + \dfrac{{\sqrt a -1}}{{\sqrt a + 1}}-\dfrac{4}{{\left( {\sqrt a -1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right)^{-3}} = \)
\( = {\left( {\dfrac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a -1} \right)}^2}-4}}{{\left( {\sqrt a -1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right)^{-3}} = {\left( {\dfrac{{a + 2\sqrt a + 1 + a-2\sqrt a + 1-4}}{{a-1}}} \right)^{-3}} = \)
\( = {\left( {\dfrac{{2a-2}}{{a-1}}} \right)^{-3}} = {\left( {\dfrac{{2\left( {a-1} \right)}}{{a-1}}} \right)^{-3}} = {2^{-3}} = \dfrac{1}{8}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{8}.\)