Упрощение алгебраических выражений. Задача 42

Задача 42. Упростите выражение \(\left( {\dfrac{{a + \sqrt {{a^2}-4} }}{{a-\sqrt {{a^2}-4} }}-\dfrac{{a-\sqrt {{a^2}-4} }}{{a + \sqrt {{a^2}-4} }}} \right)\,{\left( {\dfrac{{a\,\sqrt {a-2} \sqrt {a + 2} }}{{^{}{4^{}}}}} \right)^{-1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

\(\left( {\dfrac{{a + \sqrt {{a^2}-4} }}{{a-\sqrt {{a^2}-4} }}-\dfrac{{a-\sqrt {{a^2}-4} }}{{a + \sqrt {{a^2}-4} }}} \right)\,{\left( {\dfrac{{a\,\sqrt {a-2} \sqrt {a + 2} }}{{^{}{4^{}}}}} \right)^{-1}} = \)

\( = \dfrac{{{a^2} + 2a\sqrt {{a^2}-4} + {a^2}-4-{a^2} + 2a\sqrt {{a^2}-4} -{a^2} + 4}}{{{a^2}-{a^2} + 4}} \cdot \dfrac{4}{{a\sqrt {{a^2}-4} }} = \)

\( = \dfrac{{4a\sqrt {{a^2}-4} }}{4} \cdot \dfrac{4}{{a\sqrt {{a^2}-4} }} = 4.\)

Ответ: 4.