Упрощение алгебраических выражений. Задача 50math100admin44242025-03-26T22:04:33+03:00
Задача 50. Упростите выражение \(\dfrac{{x-1}}{{x + {x^{0,5}} + 1}}:\dfrac{{{x^{0,5}} + 1}}{{{x^{1,5}}-1}} + \dfrac{2}{{{x^{-0,5}}}}\)
Решение
\(\dfrac{{x-1}}{{x + {x^{0,5}} + 1}}:\dfrac{{{x^{0,5}} + 1}}{{{x^{1,5}}-1}} + \dfrac{2}{{{x^{-0,5}}}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}-{1^2}}}{{x + \sqrt x + 1}} \cdot \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3}-1}}{{\sqrt x + 1}} + 2\sqrt x = \)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt x -1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) \cdot \left( {\sqrt x -1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + 2\sqrt x = \)
\( = {\left( {\sqrt x -1} \right)^2} + 2\sqrt x = x-2\sqrt x + 1 + 2\sqrt x = x + 1.\)
Ответ: \(x + 1.\)