Упрощение алгебраических выражений. Задача 51math100admin44242025-03-26T22:07:10+03:00
Задача 51. Упростите выражение \({\left( {\left( {\dfrac{{{2^{\frac{3}{2}}} + 27\,{a^{\frac{3}{5}}}}}{{\sqrt 2 + 3\,\sqrt[5]{a}}} + 3\,\sqrt[{10}]{{32\,{a^2}}}-2} \right)\,{3^{-2}}} \right)^5}\)
Решение
\({\left( {\left( {\dfrac{{{2^{\frac{3}{2}}} + 27{a^{\frac{3}{5}}}}}{{\sqrt 2 + 3\sqrt[5]{a}}} + 3\sqrt[{10}]{{32{a^2}}}-2} \right) \cdot {3^{-2}}} \right)^5} = {\left( {\left( {\dfrac{{{{\sqrt 2 }^3} + {{\left( {3\sqrt[5]{a}} \right)}^3}}}{{\sqrt 2 + 3\sqrt[5]{a}}} + 3\sqrt 2 \cdot \sqrt[5]{a}-2} \right) \cdot \dfrac{1}{9}} \right)^5} = \)
\( = {\left( {\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 3\sqrt[5]{a}} \right)\left( {2-3\sqrt 2 \cdot \sqrt[5]{a} + 9\sqrt[5]{{{a^2}}}} \right)}}{{\sqrt 2 + 3\sqrt[5]{a}}} + 3\sqrt 2 \sqrt[5]{a}-2} \right) \cdot \dfrac{1}{9}} \right)^5} = \)
\( = {\left( {\left( {2-3\sqrt 2 \sqrt[5]{a} + 9\sqrt[5]{{{a^2}}} + 3\sqrt 2 \sqrt[5]{a}-2} \right) \cdot \dfrac{1}{9}} \right)^5} = {\left( {9 \cdot \sqrt[5]{{{a^2}}} \cdot \dfrac{1}{9}} \right)^5} = {\left( {\sqrt[5]{{{a^2}}}} \right)^5} = {a^2}.\)
Ответ: \({a^2}.\)