Задача 52. Упростите выражение    \(\sqrt[n]{{{y^{\dfrac{{2n}}{{m-n}}}}}}\,:\,\sqrt[m]{{{y^{\dfrac{{{{\left( {m-n} \right)}^2} + 4mn}}{{{m^2}-{n^2}}}}}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\sqrt[m]{y}\) .

Решение

\(\sqrt[n]{{{y^{\dfrac{{2n}}{{m-n}}}}}}:\sqrt[m]{{{y^{\dfrac{{{{\left( {m-n} \right)}^2} + 4mn}}{{{m^2}-{n^2}}}}}}} = {y^{\dfrac{2}{{m-n}}}}:{y^{\dfrac{{{m^2}-2mn + {n^2} + 4mn}}{{m\left( {{m^2}-{n^2}} \right)}}}} = \)

\( = {y^{\dfrac{2}{{m-n}}}}:{y^{\dfrac{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}{{m\left( {m-n} \right)\left( {m + n} \right)}}}} = {y^{\dfrac{2}{{m-n}}-\dfrac{{m + n}}{{m\left( {m-n} \right)}}}} = {y^{\dfrac{{2m-m-n}}{{m\left( {m-n} \right)}}}} = {y^{\dfrac{{m-n}}{{m\left( {m-n} \right)}}}} = {y^{\dfrac{1}{m}}} = \sqrt[m]{y}.\)

Ответ:  \(\sqrt[m]{y}.\)