Упрощение алгебраических выражений. Задача 60

Задача 60. Упростите выражение \(\dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\,\,\sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a^2}-4}}{{2a}}} \right)}^2} + 4} }}\)

Ответ

ОТВЕТ: -2, если \(a \in \left( {-\infty ;\,0} \right);\) 2, если \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Решение

\(\dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\sqrt {{{\left( {\dfrac{{{a^2}-4}}{{2a}}} \right)}^2} + 4} }} = \dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\sqrt {\dfrac{{{a^4}-8{a^2} + 16}}{{4{a^2}}} + 4} }} = \dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\sqrt {\dfrac{{{a^4}-8{a^2} + 16 + 16{a^2}}}{{4{a^2}}}} }} = \)

\( = \dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\sqrt {\dfrac{{{a^4} + 8{a^2} + 16}}{{4{a^2}}}} }} = \dfrac{{{a^2} + 4}}{{a\sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + 4} \right)}^2}}}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}} }} = \dfrac{{{a^2} + 4}}{{a \cdot \dfrac{{\left| {{a^2} + 4} \right|}}{{2\left| a \right|}}}} = \dfrac{{2\left| a \right|\left( {{a^2} + 4} \right)}}{{a\left( {{a^2} + 4} \right)}} = \dfrac{{2\left| a \right|}}{a}.\)

\(\left| {{a^2} + 4} \right| = {a^2} + 4\), так как \({a^2} + 4 > 0.\)

Если \(a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right)\), то \(\dfrac{{2\left| a \right|}}{a} = \dfrac{{-2a}}{a} = -2.\)

Если \(a\, \in \,\left( {0;\infty } \right)\), то \(\dfrac{{2\left| a \right|}}{a} = \dfrac{{2a}}{a} = 2.\)

Ответ: \(-2\), если \(a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right);\) \(2\), если \(a\, \in \,\left( {0;\infty } \right).\)