Упрощение алгебраических выражений. Задача 63math100admin44242025-03-26T22:25:51+03:00
Задача 63. Упростите выражение \(\dfrac{{{a^3} + {a^2}-2a}}{{a\,\left| {\,a + 2\,} \right|-{a^2} + 4}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(-\dfrac{a}{2},\) если \(a \in \left( {-\infty ;-2} \right);\) \(\dfrac{{a\left( {a-1} \right)}}{2}{\text{,}}\) если \(a \in \left( {-2; + \infty } \right)\)
Решение
\(\dfrac{{{a^3} + {a^2}-2a}}{{a\,\left| {\,a + 2\,} \right|-{a^2} + 4}}\)
Если \(a < -2\), то \(\left| {a + 2} \right| = -a-2\):
\(\dfrac{{{a^3} + {a^2}-2a}}{{a\left| {a + 2} \right|-{a^2} + 4}} = \dfrac{{a\left( {{a^2} + a-2} \right)}}{{-{a^2}-2a-{a^2} + 4}} = \dfrac{{a\left( {{a^2} + a-2} \right)}}{{-2\left( {{a^2} + a-2} \right)}} = -\dfrac{a}{2}.\)
Если \(a > -2\), то \(\left| {a + 2} \right| = a + 2\):
\(\dfrac{{{a^3} + {a^2}-2a}}{{a\left| {a + 2} \right|-{a^2} + 4}} = \dfrac{{a\left( {{a^2} + a-2} \right)}}{{{a^2} + 2a-{a^2} + 4}} = \dfrac{{a\left( {a + 2} \right)\left( {a-1} \right)}}{{2\left( {a + 2} \right)}} = \dfrac{{a\left( {a-1} \right)}}{2}.\)
Ответ: \(-\dfrac{a}{2},\) если \(a \in \left( {-\infty ;-2} \right);\) \(\dfrac{{a\left( {a-1} \right)}}{2}{\rm{,}}\) если \(a \in \left( {-2; + \infty } \right).\)