Задача 64. Упростите выражение    \(\dfrac{{\sqrt {x-2\sqrt {x-1} } }}{{\sqrt {x-1} -1}}\)

Ответ

ОТВЕТ: -1, если \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\) 1, если   \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Решение

\(x\, \in \,\left[ {1;2} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

\(\dfrac{{\sqrt {x-2\sqrt {x-1} } }}{{\sqrt {x-1} -1}} = \dfrac{{\sqrt {x-1-2\sqrt {x-1}  + 1} }}{{\sqrt {x-1} -1}} = \)

\( = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x-1} } \right)}^2}-2\sqrt {x-1}  + 1} }}{{\sqrt {x-1} -1}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x-1} -1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x-1} -1}} = \dfrac{{\left| {\sqrt {x-1} -1} \right|}}{{\sqrt {x-1} -1}}.\)

Если \(x\, \in \,\left[ {1;2} \right)\), то \(\left| {\sqrt {x-1} -1} \right| = -\left( {\sqrt {x-1} -1} \right)\):

\(\dfrac{{\left| {\sqrt {x-1} -1} \right|}}{{\sqrt {x-1} -1}} = \dfrac{{-\left( {\sqrt {x-1} -1} \right)}}{{\sqrt {x-1} -1}} = -1.\)

Если \(x\, \in \,\left( {2;\infty } \right)\), то \(\left| {\sqrt {x-1} -1} \right| = \sqrt {x-1} -1\):

\(\dfrac{{\left| {\sqrt {x-1} -1} \right|}}{{\sqrt {x-1} -1}} = \dfrac{{\sqrt {x-1} -1}}{{\sqrt {x-1} -1}} = 1.\)

Ответ:  \(-1,\)  если  \(x \in \left[ {1;\,2} \right);\)  1,  если  \(x \in \left( {2; + \infty } \right).\)