Упрощение алгебраических выражений. Задача 72

Задача 72. Упростите выражение \(\dfrac{{\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^2}-24x} }}{{3\sqrt x -\dfrac{2}{{\sqrt x }}}}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(-\sqrt x ,\) если \(x \in \left( {0;\dfrac{2}{3}} \right);\) \(\sqrt x ,\) если \(x \in \left( {\dfrac{2}{3}; + \infty } \right)\)

Решение

\(x \in \left( {0;\dfrac{2}{3}} \right) \cup \left( {\dfrac{2}{3};\,\infty } \right).\)

\(\dfrac{{\sqrt {{{\left( {3x + 2} \right)}^2}-24x} }}{{3\sqrt x -\dfrac{2}{{\sqrt x }}}} = \dfrac{{\sqrt {9{x^2} + 12x + 4-24x} }}{{\dfrac{{3x-2}}{{\sqrt x }}}} = \)

\( = \dfrac{{\sqrt {9{x^2}-12x + 4} \cdot \sqrt x }}{{3x-2}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {3x-2} \right)}^2}} \cdot \sqrt x }}{{3x-2}} = \dfrac{{\left| {3x-2} \right| \cdot \sqrt x }}{{3x-2}}.\)

Если \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{2}{3}} \right)\), то \(\dfrac{{\left| {3x-2} \right|\sqrt x }}{{3x-2}} = \dfrac{{-\left( {3x-2} \right)\sqrt x }}{{3x-2}} = -\sqrt x \).

Если \(x\, \in \,\left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right)\), то \(\dfrac{{\left| {3x-2} \right|\sqrt x }}{{3x-2}} = \dfrac{{\left( {3x-2} \right)\sqrt x }}{{3x-2}} = \sqrt x \).

Ответ: \(-\sqrt x \), если \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{2}{3}} \right);\) \(\sqrt x \), если \(x\, \in \,\left( {\dfrac{2}{3};\infty } \right)\).