Упрощение алгебраических выражений. Задача 8math100admin44242025-03-26T20:39:36+03:00
Задача 8. Упростите выражение \(\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{{{2^{}}}}{{a + b}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)} \right)\,{\left( {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}}} \right)^{-1}}\)
Ответ
ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{{ab}}\).
Решение
\(\left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{{{2^{}}}}{{a + b}}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right)} \right)\,{\left( {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}}} \right)^{-1}} = \left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{2}{{a + b}} \cdot \dfrac{{b + a}}{{ab}}} \right) \cdot \dfrac{{ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \)
\( = \left( {\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{2}{{ab}}} \right) \cdot \dfrac{{ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{b^2} + {a^2} + 2ab}}{{{a^2}{b^2}}} \cdot \dfrac{{ab}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{ab}}.\)
Ответ: \(\dfrac{1}{{ab}}.\)