Рациональные уравнения. Задача 33

ОТВЕТ: \(\sqrt 3  \pm 2;\;\;\sqrt 3  \pm 1.\)

\({\left( {x-\sqrt 3 } \right)^4}-5{\left( {x-\sqrt 3 } \right)^2} + 4 = 0.\)

Пусть  \({\left( {x-\sqrt 3 } \right)^2} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2}-5t + 4 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)}^2} = 1,}\\{{{\left( {x-\sqrt 3 } \right)}^2} = 4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\sqrt 3  = -1,}\\{x-\sqrt 3  = 1,\;\;\,}\\{x-\sqrt 3  = -2,}\\{x-\sqrt 3  = 2\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 3 -1,\,}\\{x = \sqrt 3  + 1,\,}\\{x = \sqrt 3 -2,}\\{x = \sqrt 3  + 2.}\end{array}} \right.\)

Ответ:   \(\sqrt 3  \pm 2;\;\;\;\;\sqrt 3  \pm 1.\)