Рациональные уравнения. Задача 36

ОТВЕТ: \(3;\;\;3 \pm 2\sqrt 5 .\)

\({\left( {{x^2}-6x} \right)^2}-2{\left( {x-3} \right)^2} = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-6x} \right)^2}-2\left( {{x^2}-6x + 9} \right)-81 = 0.\)

Пусть  \({x^2}-6x = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2}-2\left( {t + 9} \right)-81 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-2t-99 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 11,\;}\\{t = -9.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x = 11,}\\{{x^2}-6x = -9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x-11 = 0,}\\{{x^2}-6x + 9 = 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2\sqrt 5 ,}\\{x = 3-2\sqrt 5 ,}\\{x = 3.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(3;\;\;\;\;3 \pm 2\sqrt 5 .\)