Рациональные уравнения. Задача 37math100admin44242025-03-27T10:00:37+03:00
Задача 37. Решите уравнение \({\left( {\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-\dfrac{{27x-9}}{{x + 1}} + 14 = 0\)
Решение
\({\left( {\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-\dfrac{{27x-9}}{{x + 1}} + 14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-9 \cdot \dfrac{{3x-1}}{{x + 1}} + 14 = 0.\)
Пусть \(\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\({t^2}-9t + 14 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 7.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}} = 2,}\\{\dfrac{{3x-1}}{{x + 1}} = 7\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3x-1-2x-2}}{{x + 1}} = 0,}\\{\dfrac{{3x-1-7x-7}}{{x + 1}} = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = -2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(-2;\;\;\;\;3.\)