Рациональные уравнения. Задача 41

ОТВЕТ: 2;  3.

\(\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} + \dfrac{{6x-6}}{{x + 1}}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} + 6 \cdot \dfrac{{x-1}}{{x + 1}}-5 = 0.\)

Пусть  \(\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(t + \dfrac{6}{t}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-5t + 6}}{t} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-5t + 6 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = 2,}\\{\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 1-2x + 2}}{{x-1}} = 0,}\\{\dfrac{{x + 1-3x + 3}}{{x-1}} = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x-3}}{{x-1}} = 0,\;}\\{\dfrac{{2x-4}}{{x-1}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(2;\;\;\;\;3.\)