Задача 45. Решите уравнение    \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\)

Решение

\(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 48.\)

Пусть  \({x^2} + 3x = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(t\left( {t + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2t-48 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 6,\,\;}\\{t = -8.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x = 6,\;}\\{{x^2} + 3x = -8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x-6 = 0,}\\{{x^2} + 3x + 8 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2},}\\{x \notin R\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\)

Ответ:  \(\dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\)