Задача 47. Решите уравнение    \(\dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2}-5x + 3}} = -\dfrac{3}{2}\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{-5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)

Решение

\(\dfrac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \dfrac{{5x}}{{{x^2}-5x + 3}} = -\dfrac{3}{2}.\)

Проверкой убедимся, что \(x = 0\) не является решением исходного уравнения. Сократим числитель и знаменатель дробей в левой части на  \(x:\)

\(\dfrac{4}{{x + 1 + \dfrac{3}{x}}} + \dfrac{5}{{x-5 + \dfrac{3}{x}}} = -\dfrac{3}{2}.\)

Пусть  \(x + \dfrac{3}{x} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(\dfrac{4}{{t + 1}} + \dfrac{5}{{t-5}} = -\dfrac{3}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{8t-40 + 10t + 10 + 3{t^2}-15t + 3t-15}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {t-5} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3{t^2} + 6t-45}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {t-5} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t \ne 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{3{t^2} + 6t-45 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne -1,\;}\\{t \ne 5,\;\;\,}\end{array}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;}\\{t = -5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;\,}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{3}{x} = 3,\,\,}\\{x + \dfrac{3}{x} = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x + 3 = 0,}\\{{x^2} + 5x + 3 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-5 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = \dfrac{{-5-\sqrt {13} }}{2}\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-5 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = \dfrac{{-5-\sqrt {13} }}{2}.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(\dfrac{{-5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)