\({x^4}-2{x^3}-{x^2}-2x + 1 = 0.\)
Заметим, что исходное уравнение является возвратным. Значение \(x = 0\) не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому разделим обе части уравнения на \({x^2}.\) Тогда:
\({x^2}-2x-1-\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}-2\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)-1 = 0.\)
Пусть \(x + \dfrac{1}{x} = t.\) Тогда:
\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\)
Полученное уравнение примет вид:
\({t^2}-2-2t-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -1,}\\{t = 3.\;\;}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{1}{x} = -1,}\\{x + \dfrac{1}{x} = 3\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + 1 = 0,\;}\\{{x^2}-3x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2}\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2}.\,}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)