\({x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = x-\dfrac{2}{x} + 4.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)
Пусть \(x-\dfrac{2}{x} = t.\) Тогда:
\({\left( {x-\dfrac{2}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = {t^2} + 4.\)
Исходное уравнение примет вид:
\({t^2} + 4 = t + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 0.\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\dfrac{2}{x} = 1,}\\{x-\dfrac{2}{x} = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,}\\{{x^2}-2 = 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}}\end{array}} \right.\)
Ответ: \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;-1;\;\;\;\;2.\)