Задача 52. Решите уравнение    \(4{x^2} + 12x + \dfrac{{12}}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 47\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{1}{2};\;\;2;\;\;\dfrac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4}.\)

Решение

\(4{x^2} + 12x + \dfrac{{12}}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 47.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)

\(4{x^2} + 12x + \dfrac{{12}}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}} = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) + 12\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 47.\)

Пусть  \(x + \dfrac{1}{x} = t.\)  Тогда: 

\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\)

Полученное уравнение примет вид:

\(4\left( {{t^2}-2} \right) + 12t = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{t^2} + 12t-55 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\dfrac{{11}}{2},}\\{t = \dfrac{5}{2}.\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{x} = -\dfrac{{11}}{2},}\\{x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 11x + 2 = 0,}\\{2{x^2}-5x + 2 = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(\dfrac{1}{2};\;\;\;\;2;\;\;\;\;\dfrac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4}.\)