Рациональные уравнения. Задача 55

ОТВЕТ: \(-2;\;\;\dfrac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)

\({x^3}-{x^2}-9x-6 = 0.\)

Кандидатами в целые корни исходного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \(-6,\)  то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2;\;\;\, \pm 3;\,\;\; \pm 6.\)

Подходит  \(x = -2.\)  Разделим многочлен  \({x^3}-{x^2}-9x-6\)  на многочлен  \(x + 2:\)

Следовательно, многочлен  \({x^3}-{x^2}-9x-6\)  раскладывается на множители  \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x-3} \right).\)  Тогда:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x-3 = 0,}\\{x + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3-\sqrt {21} }}{2},}\\{x = -2.\;\;\,\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(-2;\;\;\;\;\dfrac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)