\({x^4} + {x^3} + {x^2} + 3x + 2 = 0.\)
Кандидатами в целые корни исходного уравнения четвёртой степени являются делители свободного члена, равного \(2,\) то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2.\)
Подходит \(x = -1.\) Разделим многочлен \({x^4} + {x^3} + {x^2} + 3x + 2\) на многочлен \(x + 1:\)
Следовательно, многочлен \({x^4} + {x^3} + {x^2} + 3x + 2\) раскладывается на множители \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + x + 2} \right).\) Тогда:
\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} + x + 2 = 0,}\\{x = -1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(2,\) то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2.\)
Подходит \(x = -1.\) Разделим многочлен \({x^3} + x + 2\) на многочлен \(x + 1:\)
Следовательно, многочлен \({x^3} + x + 2\) раскладывается на множители \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x + 2} \right).\) Тогда:
\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x + 2 = 0,}\\{x = -1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,}\\{x = -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -1.\)
Следовательно, решением исходного уравнения является \(x = -1.\)
Ответ: \(-1\).