Рациональные уравнения. Задача 58

ОТВЕТ: -1;  2.

\({x^3}-{x^2}-\dfrac{8}{{{x^3}-{x^2}}} = 2.\)

Запишем ОДЗ:  \({x^3}-{x^2} \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {x-1} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ne 0,\;\;}\\{x-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x \ne 1.\,}\end{array}} \right.\)

Пусть  \({x^3}-{x^2} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(t-\dfrac{8}{t} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-2t-8 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\;}\\{t = -2,}\end{array}} \right.}\\{t \ne 0\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\,}\\{t = -2.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-{x^2}-4 = 0,}\\{{x^3}-{x^2} + 2 = 0.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первое уравнение полученной совокупности:  \({x^3}-{x^2}-4 = 0.\)   Кандидатами в целые этого кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \(-4,\)  то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2;\;\;\; \pm 4.\)

Подходит  \(x = 2.\)  Разделим многочлен  \({x^3}-{x^2}-4\)  на многочлен  \(x-2:\)

Следовательно, многочлен  \({x^3}-{x^2}-4\)  раскладывается на множители  \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right).\)  Тогда:

\(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 = 0,\;\,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x \notin R}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\)

Рассмотрим второе уравнение полученной совокупности:  \({x^3}-{x^2} + 4 = 0.\)  Кандидатами в целые корни этого кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \(2,\)  то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2.\)

Подходит  \(x = -1.\)  Разделим многочлен  \({x^3}-{x^2} + 2\)  на многочлен  \(x + 1:\)

Следовательно, многочлен  \({x^3}-{x^2} + 2\)  раскладывается на множители  \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-2x + 2} \right).\)  Тогда:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-2x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0,\;\,\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{{x^2}-2x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x \notin R\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -1.\)

Следовательно, решением исходного уравнения будет являться совокупность:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 2.\;\,}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(-1;\;\;\;\;2.\)