Задача 62. Решите уравнение \(\dfrac{{2{x^3}-3{x^2}-11x + 6}}{{2{x^3}-{x^2} + 2x-1}} = 0\)
ОТВЕТ: -2; 3.
\(\dfrac{{2{x^3}-3{x^2}-11x + 6}}{{2{x^3}-{x^2} + 2x-1}} = 0.\) Запишем ОДЗ: \(2{x^3}-{x^2} + 2x-1 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {2x-1} \right) + \left( {2x-1} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {2x-1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \ne 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \dfrac{1}{2},\;\;\;\;}\\{{x^2} + 1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \dfrac{1}{2},}\\{x \notin R\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne \dfrac{1}{2}.\) \(\dfrac{{2{x^3}-3{x^2}-11x + 6}}{{2{x^3}-{x^2} + 2x-1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^3}-3{x^2}-11x + 6 = 0,}\\{2{x^3}-{x^2} + 2x-1 \ne 0.\,\;\;\;}\end{array}} \right.\) Решим полученное уравнение. Кандидатами в целые корни кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(6,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\;\; \pm 3;\;\; \pm 6.\) Подходит \(x = -2.\) Разделим многочлен \(2{x^3}-3{x^2}-11x + 6\) на многочлен \(x + 2:\) Следовательно, многочлен \(2{x^3}-3{x^2}-11x + 6\) раскладывается на множители \(\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2}-7x + 3} \right).\) Тогда: \(\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2}-7x + 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{2{x^2}-7x + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3\;\,\;\,}\\{x = \dfrac{1}{2}.\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Корень \(x = \dfrac{1}{2}\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения будет являться совокупность \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = 3.\;\,\,}\end{array}} \right.\) Ответ: \(-2;\;\;\;\;3.\) 