Рациональные уравнения. Задача 63

Задача 63. Решите уравнение \({\left( {\dfrac{{{x^2}-2x + 3}}{x}} \right)^2}-5x = \dfrac{{15}}{x}-16\)

Ответ

ОТВЕТ: \(1;\;\;3;\;\;\dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)

Решение

\({\left( {\dfrac{{{x^2}-2x + 3}}{x}} \right)^2}-5x = \dfrac{{15}}{x}-16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + \dfrac{3}{x}-2} \right)^2} = 5\left( {x + \dfrac{3}{x}} \right)-16.\)

Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\)

Пусть \(x + \dfrac{3}{x} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:

\({\left( {t-2} \right)^2} = 5t-16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-9t + 20 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5,}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{3}{x} = 5,}\\{x + \dfrac{3}{x} = 4\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 3 = 0,}\\{{x^2}-4x + 3 = 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)

Ответ: \(1;\;\;\,3;\;\;\,\,\dfrac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2}.\)