Задача 66. Решите уравнение    \({\left( {x-2} \right)^4} + 3{\left( {x-2} \right)^2}{\left( {x-3} \right)^2}-4{\left( {x-3} \right)^4} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: 2,5.

Решение

\({\left( {x-2} \right)^4} + 3{\left( {x-2} \right)^2}{\left( {x-3} \right)^2}-4{\left( {x-3} \right)^4} = 0.\)

Так как  \(x = 3\)  не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x-3} \right)^4}.\)  Тогда уравнение примет вид:

  \(\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^4}}}{{{{\left( {x-3} \right)}^4}}} + 3\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-3} \right)}^2}}}-4 = 0.\)

Пусть  \({\left( {\dfrac{{x-2}}{{x-3}}} \right)^2} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2} + 3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\,}\\{t = -4.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x-3}}} \right)}^2} = 1,\,\;}\\{{{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x-3}}} \right)}^2} = -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x-2}}{{x-3}} =  \pm 1,}\\{x \notin R\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x-2}}{{x-3}} = 1,\;\,}\\{\dfrac{{x-2}}{{x-3}} = -1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2-x + 3 = 0,}\\{x-2 + x-3 = 0\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\,}\\{x = 2,5}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2,5.\)

Ответ:  \(2,5.\)