\(2\left( {{x^3} + 1} \right) + {\left( {{x^2}-x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x + 1} \right) + {\left( {{x^2}-x + 1} \right)^2}-3{\left( {x + 1} \right)^2} = 0.\)
Так как \(x = -1\) не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x + 1} \right)^2}.\) Тогда уравнение примет вид:
\(2\dfrac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} + {\left( {\dfrac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}}} \right)^2}-3 = 0.\)
Пусть \(\dfrac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\({t^2} + 2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\,}\\{t = -3.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = 1,\,\;}\\{\dfrac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = -3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-x + 1-x-1}}{{x + 1}} = 0,\,\;}\\{\dfrac{{{x^2}-x + 1 + 3x + 3}}{{x + 1}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x = 0,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 2x + 4 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-2} \right) = 0,}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.} \right.\)
Ответ: \(0;\;\;\;\;2.\)