\(2{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}-7{\left( {x-1} \right)^2} = 13\left( {{x^3}-1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2{\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}-7{\left( {x-1} \right)^2}-13\left( {x-1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0.\)
Так как \(x = 1\) не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x-1} \right)^2}.\) Тогда уравнение примет вид:
\(2{\left( {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}}} \right)^2}-7-13\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = 0.\)
Пусть \(\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(2{t^2}-13t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 7,\;\;\,\,}\\{t = -\dfrac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = 7,\,\;\,}\\{\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x-1}} = -\dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} + x + 1-7x + 7}}{{x-1}} = 0,\,\,}\\{\dfrac{{2{x^2} + 2x + 2 + x-1}}{{2\left( {x-1} \right)}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x + 8 = 0,\,}\\{2{x^2} + 3x + 1 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\;\;\;\,\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\;}\\{x = 4,\;\;\;\;\;}\\{x = -1,\;\,\;\,}\\{x = -0,5.}\end{array}} \right.\)
Ответ: \(-1;\;\;\;\;-0,5;\;\;\;\;2;\;\;\;\;4.\)