Задача 70. Решите уравнение    \(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\)

Ответ

ОТВЕТ: \(\dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\)

Решение

\(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0.\)

Запишем ОДЗ: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 \ne 0,}\\{x-1 \ne 0,}\\{{x^2}-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,}\\{x \ne 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\)

\(5\,{\left( {\dfrac{{x-2}}{{x + 1}}} \right)^2}-44\,{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x-1}}} \right)^2} + 12\,\dfrac{{{x^2}-4}}{{{x^2}-1}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;5\dfrac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}-44\dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} + 12\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 0.\)

Так как  \(x =  \pm 2\)  не являются корнями исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на  \(\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\(5\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}-44\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}} + 12 = 0.\)

Пусть  \(\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = t.\)  Тогда полученное уравнение примет вид:

\(5t-\dfrac{{44}}{t} + 12 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t^2} + 12t-44 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\;\;\;\;\,}\\{t = -\dfrac{{22}}{5}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = 2,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{\left( {x-2} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = -\dfrac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 2,\;\;\;\;}\\{\dfrac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} = -\dfrac{{22}}{5}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2}-3x + 2-2{x^2}-6x-4}}{{{x^2} + 3x + 2}} = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{5{x^2}-15x + 10 + 22{x^2} + 66x + 44}}{{5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 9x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{27{x^2} + 51x + 54 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2},}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\)

Ответ:  \(\dfrac{{-9 \pm \sqrt {73} }}{2}.\)