\({\left( {2x-2} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2}-\sqrt 2 \left( {{x^2}-1} \right)-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{\left( {\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right)^2}-\sqrt 2 \left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)-6 = 0.\)
Пусть \(\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(4{t^2}-\sqrt 2 t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \sqrt 2 ,\;\;\;\,\,\,}\\{t = -\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = \sqrt 2 ,\,\;\;\,\,}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right) = -\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-1 = \sqrt 2 ,\,\;\,\;\,}\\{{x^2}-1 = -\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1 + \sqrt 2 ,\,\,\,}\\{{x^2} = 1-\dfrac{{\sqrt {18} }}{4}.}\end{array}} \right.\)
Первое уравнение имеет корни: \(x = \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
Так как \(\sqrt {18} > \sqrt {16} = 4,\) то \(1-\dfrac{{\sqrt {18} }}{4} < 0,\) поэтому второе уравнение не имеет решения.
Ответ: \( \pm \sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)