Задача 77. Решите уравнение \(4{x^4}-16{x^3} + 3{x^2} + 4x-1 = 0\)
\(4{x^4}-16{x^3} + 3{x^2} + 4x-1 = 0.\) Пусть \(x = \dfrac{1}{t}\). Тогда уравнение примет вид: \(\dfrac{4}{{{t^4}}}-\dfrac{{16}}{{{t^3}}} + \dfrac{3}{{{t^2}}} + \dfrac{4}{t}-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-16t + 3{t^2} + 4{t^3}-{t^4} = 0}\\{t \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,} \right.{t^4}-4{t^3}-3{t^2} + 16t-4 = 0.\) Кандидатами в целые корни полученного уравнения четвёртой степени являются делители свободного члена, равного \(-4\), то есть: \( \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4.\) Подходит \(t = 2\). Разделим многочлен \({t^4}-4{t^3}-3{t^2} + 16t-4\) на многочлен \(t-2\): Следовательно, многочлен \({t^4}-4{t^3}-3{t^2} + 16t-4\) раскладывается на множители \({t^4}-4{t^3}-3{t^2} + 16t-4 = \left( {t-2} \right)\left( {{t^3}-2{t^2}-7t + 2} \right)\). Тогда: \(\left( {t-2} \right)\left( {{t^3}-2{t^2}-7t + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^3}-2{t^2}-7t + 2 = 0.}\end{array}} \right.\) Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного 2, то есть: \( \pm 1;\,\, \pm 2.\) Подходит \(t = -2\). Разделим многочлен \({t^3}-2{t^2}-7t + 2\) на многочлен \(t + 2\): Следовательно, многочлен \({t^3}-2{t^2}-7t + 2\) раскладывается на множители \({t^3}-2{t^2}-7t + 2 = \left( {t + 2} \right)\left( {{t^2}-4t + 1} \right) = 0.\) Тогда: \(\left( {t + 2} \right)\left( {{t^2}-4t + 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 2 = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{t^2}-4t + 1 = 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{t = 2-\sqrt 3 ,}\\{t = 2 + \sqrt 3 .}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = \dfrac{1}{{2-\sqrt 3 }},}\\{x = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = -\dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x = 2 + \sqrt 3 ,}\\{x = 2-\sqrt 3 .}\end{array}} \right.\) Ответ: \( \pm \dfrac{1}{2};\;\;2 \pm \sqrt 3 .\;\)
