\(\dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x — 7}} + \dfrac{1}{{x — 5}} + \dfrac{1}{{x + 7}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x — 5}} + \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x — 7}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x — 5 + x + 5}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x — 5} \right)}} + \dfrac{{x — 7 + x + 7}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x — 7} \right)}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x}}{{{x^2} — 25}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} — 49}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{{2x\left( {{x^2} — 49} \right) + 2x\left( {{x^2} — 25} \right)}}{{\left( {{x^2} — 25} \right)\left( {{x^2} — 49} \right)}} > 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x\left( {{x^2} — 49 + {x^2} — 25} \right)}}{{\left( {{x^2} — 25} \right)\left( {{x^2} — 49} \right)}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4x\left( {{x^2} — 37} \right)}}{{\left( {{x^2} — 25} \right)\left( {{x^2} — 49} \right)}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4x\left( {{{\left( x \right)}^2} — {{\left( {\sqrt {37} } \right)}^2}} \right)}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 7} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{4x\left( {x — \sqrt {37} } \right)\left( {x + \sqrt {37} } \right)}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 7} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} > 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 7; — \sqrt {37} } \right) \cup \left( { — 5;0} \right) \cup \left( {5;\sqrt {37} } \right) \cup \left( {7;\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( { — 7; — \sqrt {37} } \right) \cup \left( { — 5;0} \right) \cup \left( {5;\sqrt {37} } \right) \cup \left( {7;\infty } \right).\)