\(\dfrac{{{x^2} + 3x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}} \ge x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} + 3x + 4 — {x^3} — 4{x^2} — 3x}}{{{x^2} + 4x + 3}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^3} + 3{x^2} — 4}}{{{x^2} + 4x + 3}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \({x^3} + 3{x^2} — 4 = 0.\)
Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \( — 4,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 4.\)
Подходит \(x = 1.\) Разделим многочлен \({x^3} + 3{x^2} — 4\) на многочлен \(x — 1:\)
Следовательно, многочлен \({x^3} + 3{x^2} — 4\) раскладывается на множители \(\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)\left( {x — 1} \right).\) Тогда:
\(\left( {x — 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 1 = 0,\;\;\;\;}\\{{{\left( {x + 2} \right)}^2} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\,}\\{x = — 2.}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя:
\({x^2} + 4x + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = — 1,\,}\\{{x} = — 3.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;\; — 3} \right) \cup \left\{ { — 2} \right\} \cup \left( { — 1;1} \right].\)
Ответ: \(\left( { — \infty ;\; — 3} \right) \cup \left\{ { — 2} \right\} \cup \left( { — 1;1} \right].\)