Рациональные неравенства. Задача 103

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left[ { — 1;2} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)

\({\left( {{x^2} — x} \right)^2} — 8\left( {{x^2} — x} \right) + 12 \ge 0.\)

Пусть  \({x^2} — x = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\({t^2} — 8t + 12 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {t — 2} \right)\left( {t — 6} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le 2,}\\{t \ge 6.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} — x \le 2,}\\{{x^2} — x \ge 6\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} — x — 2 \le 0,}\\{{x^2} — x — 6 \ge 0\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x + 1} \right)\left( {x — 2} \right) \le 0,}\\{\left( {x — 3} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 \le x \le 2,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \le  — 2,\;\;\;x \ge 3.\;}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left[ { — 1;2} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 2} \right] \cup \left[ { — 1;2} \right] \cup \left[ {3;\infty } \right).\)