\({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + {x^2} + 4x + 4 < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 4 < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}.\)
Пусть \({x^2} + 2x = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(2t + 4 < \dfrac{{60}}{{t + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 5t — 24}}{{t + 3}} < 0.\)
\({t^2} + 5t — 24 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\;}\\{{t} = — 8.}\end{array}} \right.\)
Тогда: \({t^2} + 5t — 24 = \left( {t — 3} \right)\left( {t + 8} \right).\)
\(\dfrac{{{t^2} + 5t — 24}}{{t + 3}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {t — 3} \right)\left( {t + 8} \right)}}{{t + 3}} < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < — 8,\;\;\;\;}\\{ — 3 < t < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x < — 8,\;\;\;\;}\\{ — 3 < {x^2} + 2x < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 8 < 0,\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 3 > 0,}\\{{x^2} + 2x — 3 < 0\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\,\,\,\,\,\,\;\;}\\{ — 3 < x < 1.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 3;1} \right).\)
Ответ: \(\left( { — 3;1} \right).\)