\({x^2} — 6x + \dfrac{{17}}{{{x^2} — 6x + 8}} < 0.\)
Пусть \({x^2} — 6x = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(t + \dfrac{{17}}{{t + 8}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} + 8t + 17}}{{t + 8}} < 0.\)
Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({t^2} + 8t + 17\) меньше нуля, то \({t^2} + 8t + 17 > 0\) при \(t \in R.\) Тогда: \(\dfrac{{{t^2} + 8t + 17}}{{t + 8}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 8 < 0.\)
Вернёмся к прежней переменной: \({x^2} — 6x + 8 < 0.\)
\({x^2} — 6x + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 4,}\\{{x} = 2.}\end{array}} \right.\)
\({x^2} — 6x + 8 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — 4} \right)\left( {x — 2} \right) < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\;4} \right).\)
Ответ: \(\left( {2;\;4} \right).\)